座屈荷重は一辺の4乗・長さの2乗で効く｜オイラーの式の読み方
この記事の要点
オイラーの座屈荷重は Pcr＝π²EI/Lk² で、断面二次モーメントIに比例し座屈長さLkの2乗に反比例します。
正方形断面ならIが一辺の4乗に比例するので、Pcrは一辺の4乗に比例し長さの2乗に反比例します。
座屈は、細長い部材が圧縮されて横に膨らむ壊れ方です。
材料の強さで決まる圧壊とは別物で、形と長さで決まります。
式の中身は3つだけ
| 記号 | 意味 | 座屈荷重への効き方 |
|---|---|---|
| E | ヤング率 | 比例する |
| I | 断面二次モーメント | 比例する |
| Lk | 座屈長さ | 2乗で反比例する |
断面積Aは式に出てきません。同じ面積でも、断面を外に広げてIを大きくすれば座屈しにくくなります。
座屈長さは支持条件で変わる
| 支持条件 | 座屈長さ Lk |
|---|---|
| 両端ピン | L |
| 両端固定 | 0.5L |
| 一端固定・他端ピン | 0.7L |
| 一端固定・他端自由 | 2L |
一端固定・他端自由は座屈長さが2Lなので、座屈荷重は両端ピンの1/4に落ちます。
設問で支持条件が指定されていたら、まずここを読みます。
正方形断面ではIが4乗になる
一辺aの正方形断面の断面二次モーメントは I＝a⁴/12 です。これをオイラーの式に入れると Pcr＝π²E･a⁴/(12Lk²) が出ます。
係数を除いて比例関係だけ見ると、Pcrはa⁴に比例しLk²に反比例します。
技術士一次ではこの形で出た
令和6年度の建設部門Ⅲ-5が、この比例関係だけを問う設問でした。長さL・一辺aの正方形断面の長柱が圧縮荷重を受ける設定で、両端はピン支持になっています。
選択肢は「a²に比例しLに反比例」「a³に比例しL²に反比例」といった組合せが5つ並び、正答はa⁴に比例しL²に反比例でした。式を丸暗記していなくても、Iが4乗であることとLkが2乗であることを押さえていれば選べます。
同じ年の基礎科目にも座屈が出ている
令和6年度は、基礎科目のⅠ-3-4も座屈の設問でした。こちらは支持条件の違う3本の柱を比べて、座屈荷重の大小関係を選ぶ形になっています。
同じ年に、基礎科目と専門科目の両方で座屈が問われました。
座屈長さの表を1つ持っておけば、両方まとめて取れます。
理解度チェック
一辺を2倍にすると、座屈荷重は何倍になるか。
Iがa⁴に比例するので2⁴＝16倍になります。
長さを2倍にすると、座屈荷重は何倍になるか。
Lk²に反比例するので1/4です。長さは効き方が大きいです。
断面積が同じなら、中実の丸棒と円形の中空断面ではどちらが座屈しにくいか。
中空断面のほうです。座屈荷重は断面積でなくIで決まり、材料を外側に置くほどIが大きくなるためです。
まとめ
座屈荷重はIに比例し、座屈長さの2乗に反比例します。
断面の形と支持条件を読めば、計算せずに選択肢を絞れます。
出典
公益社団法人 日本技術士会「令和6年度 技術士第一次試験問題〔専門科目 建設部門〕」3ページ Ⅲ-5
公益社団法人 日本技術士会「令和6年度 技術士第一次試験 試験問題の正答」
※ 問題文と選択肢は掲載していません。実際の設問は上記の公式PDFで確認できます。
※ この記事の確認日：2026年7月