棒の伸び δ＝PL/(AE) とひずみエネルギー｜1/2が付く理由

棒の伸びの式は、材料力学で最初に覚える1本です。

この式さえ持っていれば、ひずみエネルギーも不静定も同じ道具で解けます。

伸びの式は3つの定義から出る

応力は σ＝P/A、ひずみは ε＝δ/L と定義されます。この2つをフックの法則 σ＝Eε でつなぐと、P/A＝E･δ/L です。

δについて解けば δ＝PL/(AE) が出ます。

記号	意味	伸びへの効き方
P	軸方向の力	比例して伸びる
L	棒の長さ	長いほど伸びる
A	断面積	太いほど伸びない
E	ヤング率	硬いほど伸びない

分母のAEをまとめて軸剛性と呼びます。軸剛性は k＝AE/L で、これが不静定を解くときの分け前です。

ひずみエネルギーは伸びの式から出る

荷重Pをかけて棒がδだけ伸びたとき、外力がした仕事が棒に蓄えられます。

ここで W＝Pδ としてはいけません。荷重は0からPまで増えていくので、平均のP/2で効きます。

つまり U＝(1/2)Pδ です。これに δ＝PL/(AE) を代入すると U＝P²L/(2AE) が出ます。

技術士一次ではこの形で出た

令和元年度の基礎科目Ⅰ-3-5が、この式をそのまま問う設問でした。左端を固定した長さl・断面積Aの棒が、右端で荷重Pを受けている設定になっています。

棒全体に蓄えられるひずみエネルギーを選ぶ問題で、正答はP²l/(2EA)でした。選択肢にはPlやPl²/Aも並んでいたので、次元を見るだけで大半は外せます。

令和5年度は数値を入れさせる形だった

令和5年度の基礎科目Ⅰ-3-4は、同じ式に数値を入れて伸びを出す設問になっています。長さ2.4m、断面積1.2×10²mm²、荷重2.0kN、ヤング率2.0×10²GPaという条件でした。

量	与えられた値	mm系に直すと
L	2.4 m	2,400 mm
A	1.2×10² mm²	120 mm²
P	2.0 kN	2,000 N
E	2.0×10² GPa	2.0×10⁵ N/mm²

δ＝2,000×2,400÷(120×2.0×10⁵) を計算すると0.20mmになり、これが正答でした。

単位を全部mm系にそろえてから入れます。GPaのまま計算すると3桁ずれます。

次元で選択肢を削る

エネルギーの単位はN･mです。P²L/(2AE)の単位を並べると、N²･m÷(m²･N/m²)＝N･mで合います。

式を思い出せなくても、単位が合う選択肢は限られます。

理解度チェック

まとめ

δ＝PL/(AE)と U＝P²L/(2AE) は、同じ1本の式の表と裏です。

軸剛性AE/Lという形で持っておくと、不静定の反力にもそのまま使えます。

※ この記事の確認日：2026年7月