両端固定の棒に働く反力の求め方｜剛性の比で分ける

両端固定の棒は、力のつり合いだけでは反力が決まりません。

未知の反力が2つあるのに、使える式がつり合いの1本しかないためです。足りない1本を補うのが、変形の条件です。

つり合いだけでは解けない理由

棒の左端をA、右端をB、力Pが作用する点をCとします。

水平方向のつり合いから、P_A＋P_B＋P＝0 の1本が立ちます。

未知数はP_AとP_Bの2つなので、この1本では決まりません。このように、つり合い式の数より未知の反力が多い状態を不静定と呼びます。

変形の条件を1本足す

両端が固定されているため、棒全体の長さは変わりません。AC間が縮んだぶんだけ、CB間が伸びます。

つまりC点の移動量が、AC側から見てもCB側から見ても同じ値です。これが不足していた1本で、これを入れると反力が決まります。

剛性の比で分ける

断面積A、ヤング率Eの棒で、長さがLの区間の剛性は k＝EA/L です。

C点がAから距離L、Bから距離4Lの位置にあるとします。

区間	長さ	剛性
AC	L	EA/L
CB	4L	EA/4L

剛性の比は 4：1 です。

C点の移動量が両側で同じなので、力は剛性の比のまま分かれます。短いAC側が4/5、長いCB側が1/5を負担します。

長さが4倍なら剛性は1/4です。長さの比をそのまま力の比にすると逆です。

技術士一次ではこの形で出た

令和7年度の基礎科目Ⅰ-3-4が、まさにこの設定でした。同じ材質と断面積の棒を両端で固定し、左端から距離L、右端から距離4Lの点に力Pを作用させる形になっています。

反力の組合せを選ぶ問題で、正答はP_A＝−4P/5、P_B＝−P/5でした。剛性比4：1が分かれば、計算せずに選択肢を絞れます。

覚え方

• つり合いで足りなければ、変形の条件を足す
• 剛性は長さに反比例する（k＝EA/L）
• 移動量が同じなら、力は剛性の比で分かれる
• 短い側が大きく負担する

理解度チェック

まとめ

両端固定の棒の反力は、左右の剛性の比で分かれます。

剛性が長さに反比例することを押さえておけば、この型は計算を省いて答えられます。

※ この記事の確認日：2026年7月