ベルヌーイの定理で管の途中の圧力を出す｜答えは負圧になる

ベルヌーイの定理は、流線に沿って3つの水頭の和が一定になるという式です。

3つとも長さの単位を持つので、高さで比べられます。

3つの水頭

名前	式	意味
速度水頭	v²/(2g)	流れの速さ
位置水頭	z	基準面からの高さ
圧力水頭	p/(ρg)	その点の圧力

この和が流線上のどこでも同じ値です。したがって、条件の分かっている点と知りたい点を1本の流線で結べば解けます。

条件が分かる点から始める

十分広い水槽の水面では、流速がほぼ0で圧力も大気圧です。だから水面Aでの和は、位置水頭z_Aだけです。

管の出口Cも大気に開いているので圧力水頭が0で、v_C²/(2g)＋z_C＝z_A が立ちます。

ここから v_C²/(2g)＝z_A−z_C が出ます。

断面が一定なら速度も一定

管の断面積が変わらなければ、流量が同じなので流速も同じです。つまり管の途中の点Bでも v_B＝v_C が成り立ちます。

点Bで式を立てると (z_A−z_C)＋z_B＋p_B/(ρg)＝z_A です。

整理すると p_B＝ρg(z_C−z_B) が出ます。

z_Cはz_Bより低いので負圧になる

点Cは管の出口で、点Bはその上にあります。したがってz_C−z_Bは負になり、点Bの圧力は大気圧より低いです。

水が下へ落ちていく途中は吸われる側です。感覚では「深いほど圧力が高い」と思いますが、流れているとその静水圧の考え方は使えません。

技術士一次ではこの形で出た

令和7年度の建設部門Ⅲ-17が、この点Bの圧力を選ぶ設問でした。水面の変化が無視できる広い水槽に、鉛直な細い管路が取り付けられている設定になっています。

正答はρ･g･(z_C−z_B)でした。選択肢にはρ･g･(z_A−z_B)も並んでいて、これは水面からの深さで静水圧を出した形です。

この設問は3回出ている

同じ図で点Bの圧力を選ぶ設問が、平成30年度・令和2年度・令和7年度の3回出ていました。問題文と選択肢は年度ごとに動きます。

平成30年度には「点Bと点Cの流速は等しくなる」の一文が無く、令和7年度は選択肢の4番目と5番目に係数2が付いています。

年度	設問番号	正答
平成30年度	Ⅲ-19	⑤
令和2年度	Ⅲ-17	②
令和7年度	Ⅲ-17	③

正答の式はρ･g･(z_C−z_B)で3回とも同じです。

それでも番号は⑤・②・③と毎回変わり、設問番号もⅢ-19からⅢ-17へ動いています。

令和5年度と令和3年度も同じ前置きで出ている

令和5年度の建設部門Ⅲ-17も、同じベルヌーイの定理の前置きから始まる設問でした。こちらは水槽の壁の小穴から放流するオリフィスで、流出する水の流速を選ぶ形になっています。

水面Aと小穴Cで式を立てると v＝√(2g(z_A−z_C)) が出て、これが正答でした。令和3年度のⅢ-17も同じ前置きで、狭窄部のある水平な管路の圧力を問う形でした。

水平なので位置水頭が消え、p_B＝p_A＋ρ(v_A²−v_B²)/2 です。v_B＝3v_Aを入れると p_A−4ρv_A² が出て、これが正答でした。

この3年度とも前置きの式と説明文はほぼ同じで、図と問われる量が差し替えてあります。式の分母の書き方は年度で揺れていて、令和元年度と令和5年度はρg、令和2年度と令和7年度と平成30年度はρ･gです。

この前置きの式が付く設問は、令和元年度・令和2年度・令和3年度・令和5年度・令和7年度の5回に出ています。令和4年度と令和6年度は静水圧の問題でした。

基礎科目にも同じ道具で出ている

令和2年度の基礎科目Ⅰ-3-6も、ベルヌーイの定理を使う設問でした。円管の縮小部で流速を求める形で、連続の式と組み合わせて解きます。

建設部門を受ける人は、基礎科目でも同じ道具を使えます。

同じオリフィスでも答えが違う

令和元年度のⅢ-17も、令和5年度と同じ小穴からの流出速度を求める設定でした。ところが正答は √(2g･z_A) で、令和5年度の √(2g･(z_A−z_C)) とは形が違います。

令和元年度のz_Aは小穴から水面までの高さ、令和5年度のz_Aは基準面から水面までの高さになっています。寸法線がどこからどこまでかで式が変わります。

ベルヌーイの式は同じでも、水頭の差をどの記号で書くかは図で確かめるしかありません。

令和7年度で計算問題は5問だけ

この設問は、35問のうち数少ない計算問題の1つです。令和7年度で計算だったのはⅢ-1・Ⅲ-2・Ⅲ-5・Ⅲ-6と、このⅢ-17の5問だけでした。

力学の道具で解けるので、水理が専門でなくても取りにいける位置です。

理解度チェック

まとめ

条件が分かる水面と出口から式を立て、断面一定を使って途中の点に持ち込みます。流れているときは静水圧で考えない、という一点だけ守れば選択肢は絞れます。

※ この記事の確認日：2026年7月