図心とは？断面一次モーメントが0になる点・二次モーメントとの違い
けんせつる
図心って重心のこと？一次モーメントと二次モーメントの区別がつかない。
この記事の要点
図心とは、図形の重心にあたる点です。厚さと密度が均一なら、図心と重心は同じ位置になります。
- 断面一次モーメント＝面積×軸までの距離の合計（S＝ΣA・y）。
- 図心を通る軸に関する断面一次モーメントは0になります。これが図心を探す手がかりです。
- 求め方は断面一次モーメントの合計÷全断面積（y₀＝ΣA・y／ΣA）。
0になるのは一次モーメントです。二次モーメントは図心軸で最小になりますが、0にはなりません。
1級・2級とも第一次検定のNo.4で出ます。令和6年度は1級・2級前期・2級後期の3つとも図心が出題されました。
図心は図形の重心
図心とは、その図形の重心にあたる点です。板を1点で支えたときに水平に釣り合う位置、と考えると分かります。
厚さと密度が均一な板なら、図心と重心は同じ位置になります。図心は形だけで決まる点で、重さの分布が一様であれば重心と一致するためです。
単純な形の図心は、計算しなくても分かります。
| 図形 | 図心の位置 |
|---|---|
| 長方形 | 対角線の交点（縦横それぞれの中央） |
| 三角形 | 各辺の中点と向かい合う頂点を結んだ線の交点（底辺から高さの1／3） |
| 円 | 中心 |
試験で問われるのは、これらを組み合わせた逆T型やL型の断面です。単純な形に分割してから求めます。
断面一次モーメントは面積×距離
断面一次モーメントとは、面積に軸までの距離を掛けた値です。図形が分かれているときは、それぞれについて計算して足します。
断面一次モーメント S ＝ Σ（面積A × 軸までの距離y）
力のモーメントが力×距離だったのと同じ形です。力の代わりに面積を置いた量なので、面積モーメントとも呼ばれます。
距離は、その部分の図心から軸までを取ります。長方形なら中央までの高さです。端までの距離ではありません。
図心の求め方は「合計÷全面積」
図心の位置は、断面一次モーメントを全断面積で割って求めます。
図心の高さ y₀ ＝ 断面一次モーメントの合計 ÷ 全断面積 ＝ ΣA・y ／ ΣA
手順は3つです。
- 長方形に分割する。逆T型なら、下のフランジと縦のウェブの2つに分けます。
- 各部分で（面積×その部分の図心の高さ）を出して合計する。これが断面一次モーメントです。
- 全断面積で割る。出た値が、基準軸から図心までの高さです。
令和6年度後期の2級では、この手順で逆T型断面の図心の高さを求めさせ、答えはh＝3aでした。
簡単に言えば、面積の大きい部分に引き寄せられた位置が図心です。だから面積で重みをつけて平均を取っています。
基準軸はどこに取っても構いません。軸を変えれば各部分の距離yも断面一次モーメントも変わりますが、割り算をした後に出てくる図心の位置は同じになります。図心は図形そのものの性質だからです。
計算しやすいのは、断面の下端に軸を置く取り方です。すべての距離がプラスになり、符号を考えずに済みます。試験の問題図も、この置き方で示されています。
図心を通る軸では0になる
図心のいちばん大切な性質がこれです。図心を通る軸に関する断面一次モーメントは0になります。
理由は、軸の両側で面積モーメントが打ち消し合うからです。図心を通る軸を境に、片側はプラスの距離、反対側はマイナスの距離になります。図心はちょうど両側が釣り合う位置なので、合計すると0です。
この性質から、図心は次のように言い換えられます。
x軸・y軸に関する断面一次モーメントがともに0になる、直交する2軸の交点
令和6年度前期の2級では、この言い換えの中で「断面二次モーメントが0」とした選択肢が誤りでした。0になるのは一次モーメントです。
一次と二次は0になるかで分かれる
名前が似ているので、区別を押さえます。掛ける距離が1乗か2乗かの違いです。
| 断面一次モーメント | 断面二次モーメント | |
|---|---|---|
| 式 | Σ（A × y） | Σ（A × y²） |
| 図心軸での値 | 0 | 最小（0にはならない） |
| 符号 | 軸の反対側はマイナス | 2乗なので常にプラス |
| 単位 | 長さの3乗（cm³） | 長さの4乗（cm⁴） |
| 何に使うか | 図心の位置を求める | 曲げにくさを表す |
単位にも次数の差が出ます。面積（長さの2乗）に距離を1回掛ければ3乗、2回掛ければ4乗です。選択肢に単位が示されていれば、それだけでどちらの量かが分かります。
二次モーメントが0にならないのは、距離を2乗しているためです。2乗すればマイナスが消えるので、打ち消し合いが起きません。図心軸のときにいちばん小さくなるだけで、値は残ります。
断面二次モーメントは、梁の曲げにくさを表す量です。同じ断面積でも、材料を図心から遠くに配置するほど大きくなります。H形鋼のフランジが上下に離れているのはこのためです。
混同しやすい用語
断面一次モーメント と 断面二次モーメント
距離の次数が違います。一次は面積×距離、二次は面積×距離の2乗です。図心を通る軸では、一次モーメントは0になりますが、二次モーメントは最小になるだけで0にはなりません。2乗によって符号がすべてプラスになり、打ち消し合いが起きないためです。試験ではこの入れ替えが誤り肢として出ます。
図心 と 重心
決まり方が違います。図心は図形の形だけで決まる点、重心は重さの分布で決まる点です。厚さと密度が均一なら両者は一致します。異なる材料を組み合わせた断面では、形の中心と重さの中心がずれるため、一致しません。試験の断面図は均一として扱うので、同じ位置になります。
施工管理での確認ポイント
- 図形を長方形に分けてから手を動かす。逆T型なら2つ、L型なら2つに切ります。分けずに全体で考えると距離が取れません。
- 各部分の距離は、その部分の図心から測る。長方形なら高さの中央までです。上端や下端までの距離を使うと値がずれます。
- 基準軸をどこに置いたかを図に書き込む。問題では断面の下端をX軸に取ることが多く、答えもその軸からの高さで示されます。
- 「0になる」と書かれていたら一次か二次かを確かめる。0になるのは一次モーメントです。二次モーメントなら誤りです。
- 面積の大きい側に寄っているかで検算する。出た図心が、面積の大きい部分から離れた位置になっていれば計算が違います。
過去問でどう問われたか
構造力学は1級・2級とも第一次検定のNo.4で出ます。令和6年度は3つとも図心でした。
| 出題年度・級（問番） | 問われ方 | 答え・要点 |
|---|---|---|
| 令和6年度 1級（No.4） | 図心と断面一次モーメントの記述 | 図心軸での値は0。それ以外の値とした肢が誤り |
| 令和6年度 2級前期（No.4） | 図心Gの記述の誤り | 断面二次モーメントが0としたのが誤り |
| 令和6年度 2級後期（No.4） | 逆T型断面の図心の高さ | h＝3a（分割して合計÷全断面積） |
| 令和7年度 1級（No.4） | 引張応力度の式 | 断面の性質を使う同じ枠の出題 |
問われ方は性質を記述で問う形と逆T型で計算させる形の2つです。記述で問われるのは、ほぼ「図心軸で0になるのはどちらか」の一点です。
理解度チェック
問題：図心を通る軸に関する断面一次モーメントが0になるのはなぜか。
軸の両側で面積モーメントが打ち消し合うためです。図心を通る軸を境に、片側の距離はプラス、反対側はマイナスになります。図心は両側がちょうど釣り合う位置なので、面積×距離を全体で合計すると0になります。この性質が、図心を探す手がかりになっています。
問題：断面二次モーメントが、図心軸でも0にならないのはなぜか。
距離を2乗しているためです。2乗するとマイナスが消えてすべてプラスになるので、軸の両側で打ち消し合いが起きません。図心を通る軸のときに最小にはなりますが、値は残ります。0になるのは一次モーメントのほうです。
問題：逆T型断面の図心の高さを求める手順を3つに分けて説明せよ。
①長方形に分割する（下のフランジと縦のウェブ）。②各部分について面積×その部分の図心の高さを計算し、合計する（断面一次モーメント）。③その合計を全断面積で割る。式にすると y₀＝（A₁y₁＋A₂y₂）／（A₁＋A₂）です。距離は各長方形の中央まで取ります。
まとめ
- 図心＝図形の重心にあたる点。厚さと密度が均一なら重心と一致する。
- 断面一次モーメント＝面積×軸までの距離の合計（S＝ΣA・y）。面積モーメントとも呼ぶ。
- ★図心を通る軸に関する断面一次モーメントは0。両側で打ち消し合うため。
- 求め方はy₀＝ΣA・y／ΣA。長方形に分割→面積×高さを合計→全断面積で割る。
- ★断面二次モーメント（ΣA・y²）は図心軸で最小になるが0にはならない。2乗で符号が消えるため。
- 記述で問われるのは、ほぼ0になるのが一次か二次かの一点。
参考資料
- 一般財団法人 全国建設研修センター 公表の第一次検定 問題・正答
※ この記事の確認日：2026年9月
「0になる」を見たら、一次か二次かだけ確かめる
この枠の記述問題は、図心の定義そのものを聞いているように見えて、実際に判定するのは一次か二次かだけです。他の肢は正しい説明が並んでいます。
図心を通る軸で0になるのは一次モーメント。二次モーメントは最小になるだけ。この1行を覚えていれば、記述の年は読むだけで終わります。