連続の式とベルヌーイの定理とは？断面積と流速の反比例、3つの水頭を整理
けんせつる
管が太くなったら流速はどうなる？水頭って3つあるって聞いたけど何が違うの？
この記事の要点
連続の式とは、管路のどの断面でも断面積×流速が一定になることを表した式です（A₁v₁＝A₂v₂）。
- 断面積と流速は反比例します。細い所ほど速く、太い所ほど遅い。
- 円管では断面積が直径の2乗に比例します。直径2.5倍なら面積6.25倍、流速は1／6.25。
- ベルヌーイの定理＝速度水頭＋圧力水頭＋位置水頭＝一定（全水頭）。
断面が拡大しているのに流速が大きくなる選択肢は、計算せずに切れます。
1級・2級とも第一次検定のNo.5前後で、水理の計算が毎年出ます。使う式は2つだけです。
連続の式は「入った水は減らない」
管路を流れる水は、途中で増えも減りもしません。だからどの断面でも流量が同じになります。
流量Qは断面積A×流速vで表されるので、次の関係が成り立ちます。
Q＝A×v＝一定 したがって A₁v₁＝A₂v₂
これが連続の式です。断面積が2倍になれば流速は1／2、断面積が半分になれば流速は2倍。断面積と流速は反比例します。
簡単に言えば、ホースの先を指でつまむと水が勢いよく飛ぶのと同じです。出口が狭くなった分だけ速くなります。
円管では直径の2乗が効く
ここが計算問題の要点です。問題文で与えられるのは直径であって、断面積ではありません。
直径dの円の断面積は次のとおりです。
A＝π×d²／4
断面積は直径の2乗に比例します。したがって連続の式に代入すると、流速の関係はこうなります。
v₂＝（A₁／A₂）×v₁＝（d₁／d₂）²×v₁
直径が2.5倍になると、断面積は6.25倍、流速は1／6.25になります。2.5倍だから流速は1／2.5、としないことが要点です。
流量を求めるときは、どちらの断面で計算しても同じ値になります。
Q₂＝Q₁＝A₁v₁＝π×(d₁²／4)×v₁
ベルヌーイの定理と3つの水頭
もう1つの式がベルヌーイの定理です。完全流体では、次の3つの和がどこでも一定になります。
速度水頭＋圧力水頭＋位置水頭＝一定（全水頭）
v²／2g ＋ p／ρg ＋ z ＝ 一定
3つとも高さの単位（m）で表されているのが特徴です。エネルギーを高さに換算して並べています。
| 水頭 | 式 | 意味 |
|---|---|---|
| 速度水頭 | v²／2g | 運動エネルギーを高さで表したもの |
| 圧力水頭 | p／ρg | 圧力のなす仕事を高さで表したもの |
| 位置水頭 | z | 基準面からの高さ（位置エネルギー） |
式の並び順と表の並び順が同じです。v²／2g が速度、p／ρg が圧力、z が位置。空所補充ではこの順序がそのまま答えになります。
連続の式とあわせると、流れの様子が読めます。管が細くなると流速が上がり、速度水頭が増えます。全水頭は一定なので、その分だけ圧力水頭が下がります。細い所ほど圧力が低いのはこのためです。
「損失は考慮しない」と書いてある理由
問題文には必ず「断面の拡大に伴うエネルギーの損失は考慮しないものとする」といった但し書きが付きます。ベルヌーイの定理が完全流体を前提にしているためです。
実際の水には粘りがあり、管の壁との摩擦や、断面が急に変わるところの渦でエネルギーが失われます。失われた分は損失水頭として下流側で目減りするので、全水頭は厳密には一定になりません。
だから問題では「損失は無いものとする」と条件を置き、3つの水頭の和が一定である状態で計算させます。但し書きは飾りではなく、その式を使ってよいという合図です。
簡単に言えば、摩擦のない理想の水で考えなさい、という意味です。実際の設計では損失を見込みますが、試験の計算では省きます。
実際に解いてみる
令和8年度2級の問題です。断面が拡大する管で、v₁＝3.0m/s のとき v₂ はいくらか。断面の拡大に伴うエネルギーの損失は考慮しません。
手順は3つです。
- 向きを見る。断面が拡大しているので、v₂ は 3.0m/s より小さくなります。
- 断面積の比を出す。この問題では断面積が4倍です。
- 反比例させる。v₂＝3.0÷4＝0.75m/s。
令和7年度2級後期は同じ形で、v₁＝2.0m/s からv₂＝0.32m/s でした。2.0÷0.32＝6.25なので、断面積は6.25倍、つまり直径は2.5倍です。
直径で与えられたら2乗する、面積で与えられたらそのまま割る。どちらの形で出るかは年度によって変わります。
ベルヌーイの定理は分母が狙われる
水頭の名前を当てるだけでなく、式そのものを書かせる年度があります。そこでの引っかけは分母です。
| 水頭 | 正しい式 | 出た誤り |
|---|---|---|
| 速度水頭 | v²／2g | v²／g |
| 圧力水頭 | p／ρg | p／2g |
| 位置水頭 | z | — |
速度水頭には2が付き、圧力水頭にはρ（密度）が付きます。2が付くのは速度水頭だけと覚えると、入れ替えに気づけます。
施工管理での確認ポイント
- 問題文の直径を面積に直してから計算する。直径の比をそのまま流速の比にしません。2乗してから逆数を取ります。
- 断面の変化の向きを先に見る。拡大なら流速は下がり、縮小なら上がります。この向きだけで選択肢が半分に絞れます。
- 単位をmとm/sにそろえる。直径がmm、流速がm/sで与えられることがあります。面積を出す前にそろえます。
- 3つの水頭はすべて高さの単位で扱う。速度水頭だけm/sと勘違いすると、和が取れません。
混同しやすい用語
直径の比 と 断面積の比
2乗の差があります。円管の断面積はA＝πd²／4で、直径の2乗に比例します。直径が2.5倍なら断面積は6.25倍、連続の式から流速は1／6.25です。直径の比をそのまま流速の逆比にすると、値が大きく外れます。
速度水頭 と 流速
単位が違います。流速vはm/s、速度水頭 v²／2g はmです。ベルヌーイの定理は3つの項を足すので、すべて高さの単位にそろえてあります。速度水頭は「その流速に相当する高さ」を表しています。
過去問でどう問われたか
水理は1級・2級とも第一次検定のNo.5で毎年出ます。しかも出るのは連続の式・ベルヌーイの定理・マニングの式の3つだけです。
| 出題年度・級（問番） | 問われ方 |
|---|---|
| 令和8年度 2級（No.5） | 連続の式。断面積4倍で v₁＝3.0m/s → v₂＝0.75m/s |
| 令和7年度 2級（No.5） | ベルヌーイの式。速度水頭は v²／2g、圧力水頭は p／ρg（分母の引っかけ） |
| 令和7年度 2級後期（No.5） | 連続の式。v₁＝2.0m/s から v₂＝0.32m/s（断面積6.25倍＝直径2.5倍） |
| 令和7年度 1級（No.5） | マニングの式による管路の流量 |
| 令和6年度 2級後期（No.5） | ベルヌーイの定理の空所。順に速度・圧力・位置の水頭 |
| 令和6年度 2級前期（No.5） | マニングの式と流量 |
| 令和6年度 1級（No.5） | v₂＝(d₁／d₂)²×v₁ と Q₂＝π×(d₁²／4)×v₁ の組合せ |
7年度分を並べると、連続の式が3回、ベルヌーイが2回、マニングが2回です。この記事で扱った2つを押さえれば、5回分に対応できます。
理解度チェック
問題：管の直径が2倍になった。流速は元の何倍か。
1／4倍です。円管の断面積はA＝πd²／4で直径の2乗に比例するため、直径2倍なら断面積は4倍。連続の式 A₁v₁＝A₂v₂ から、流速は1／4になります。直径2倍だから流速1／2、ではありません。
問題：ベルヌーイの定理の3つの項は、それぞれ何を表しているか。
v²／2g＝速度水頭（運動エネルギーを高さで表したもの）、p／ρg＝圧力水頭（圧力のなす仕事を高さで表したもの）、z＝位置水頭（基準面からの高さ）です。3つとも高さの単位で、和が全水頭として一定になります。
問題：管が細くなると圧力が下がるのはなぜか。
細くなると連続の式により流速が上がり、速度水頭 v²／2g が増えるためです。ベルヌーイの定理では3つの水頭の和が一定なので、位置水頭が変わらなければ、増えた分だけ圧力水頭 p／ρg が下がります。2つの式を続けて使うと説明できます。
まとめ
- 連続の式＝Q＝A×v＝一定、すなわちA₁v₁＝A₂v₂。断面積と流速は反比例。
- ★円管の断面積はA＝πd²／4で直径の2乗に比例。v₂＝(d₁／d₂)²×v₁。
- 直径2.5倍→断面積6.25倍→流速1／6.25。直径の比をそのまま使わない。
- ベルヌーイの定理＝速度水頭＋圧力水頭＋位置水頭＝一定（全水頭）。
- 式で書くとv²／2g ＋ p／ρg ＋ z ＝ 一定。3つとも高さの単位。
- 細い所は流速が上がって速度水頭が増え、その分圧力水頭が下がる。
参考資料
- 一般財団法人 全国建設研修センター 公表の第一次検定 問題・正答
※ この記事の確認日：2026年9月
計算する前に、向きで半分落とせる
連続の式の問題は、断面が拡大しているか縮小しているかを図で見るだけで、選択肢の半分が消えます。拡大なら流速は必ず元より小さい値です。
そのうえで、直径の比を2乗することを忘れなければ答えが出ます。この2手だけで、水理の計算問題は取れる形になっています。