マニングの式とは？係数は1／n、径深は断面積÷潤辺で潤辺に水面は含めない
けんせつる
径深って断面積を何で割るんだっけ？水面の幅も潤辺に入れるの？
この記事の要点
マニングの式とは、水路や管路の平均流速を、粗さ・断面の形・勾配から求める式です。
- 式はv＝(1／n)・R^(2／3)・I^(1／2)。n＝粗度係数、R＝径深、I＝動水勾配。
- ★係数は1／nです。n そのものではありません。
- ★径深R＝断面積÷潤辺。分子と分母を逆にしません。
- ★潤辺に水面は含めません。水が壁に触れている長さだけを数えます。
選択肢の違いは、この3か所のどれかに集中します。
1級・2級とも第一次検定のNo.5で、水理の計算が毎年出ます。連続の式とベルヌーイの定理とあわせて3つが出題の枠です。
マニングの式の形
平均流速vは次の式で求めます。
v＝(1／n)・R^(2／3)・I^(1／2)
流量Qは、これに断面積（流積）Aを掛けます。
Q＝A×v＝(1／n)・A・R^(2／3)・I^(1／2)
| 記号 | 名前 | 意味 |
|---|---|---|
| n | 粗度係数 | 水路の粗さ。値が大きいほど流れにくい |
| R | 径深 | 断面積÷潤辺。断面の形の効き方を表す |
| I | 動水勾配 | 水面の傾き。急なほど速い |
係数は1／n。nそのものではない
1つ目の引っかけがここです。式の先頭は 1／n であって、n ではありません。
粗度係数nは粗さを表します。壁がざらざらなほどnは大きくなります。粗いほど流れにくいのだから、nが大きいほど流速は小さくならなければ辻褄が合いません。
そこで式では逆数の1／nを掛けます。nをそのまま掛ける形にすると、粗いほど速く流れることになってしまいます。
簡単に言えば、nは「流れにくさ」の目盛りです。だから式では割る側、つまり1／nの形で入ります。
径深は断面積÷潤辺
2つ目の引っかけが径深Rです。
R＝断面積A÷潤辺
潤辺とは、水が水路の壁に接している部分の長さです。断面積を潤辺で割ると、流れの「太さ」に対して壁との摩擦がどれだけ効くかが表せます。
分子と分母を逆にした選択肢が並びます。面積（m²）を長さ（m）で割るからRの単位はm、と単位で確かめられます。
潤辺に水面は含めない
ここが3つ目で、最も落としやすいところです。潤辺は「水が壁に触れている長さ」なので、水面は含めません。
水面は空気と接しているだけで、摩擦を受けません。だから摩擦の効き方を表す潤辺には入れないのです。
矩形水路と円形管で計算する
矩形水路（幅B・水深H）の場合です。
- 断面積 A＝BH
- 潤辺＝B＋2H（底の1辺と、両側の2辺）
- 径深 R＝BH／(2H＋B)
- 流量 Q＝(1／n)・BH・{BH／(2H＋B)}^(2／3)・I^(1／2)
次に円形管を半分の深さで流れる場合です（令和7年度1級）。
- 流積 A＝(1／2)×(πD²／4)＝πD²／8
- 潤辺＝πD／2（下半分の弧だけ。水面は含めない）
- 径深 R＝(πD²／8)÷(πD／2)＝D／4
- 流量 Q＝(1／n)・(πD²／8)・(D／4)^(2／3)・I^(1／2)
誤りの選択肢では、流積が πD／8 になっています。Dの2乗が消えている形です。面積なのに長さの次元になっていないか、確かめてください。
指数が付いている意味
マニングの式では、径深に2／3乗、動水勾配に1／2乗が付いています。ここに意味があります。
| 変えるもの | 何倍にすると | 流速は |
|---|---|---|
| 粗度係数 n | 2倍（粗くする） | 1／2（逆数で効く） |
| 動水勾配 I | 4倍（急にする） | 2倍（1／2乗なので） |
| 径深 R | 8倍（太くする） | 4倍（2／3乗なので） |
勾配を4倍にしても流速は2倍にしかなりません。急にすれば急にしただけ速くなる、という比例関係ではないところが要点です。
指数が1より小さいので、どの項も「増やしたほど素直には効かない」形になっています。水路を大きくしても、勾配をきつくしても、効果は頭打ちに近づきます。
同じ断面積なら潤辺が短いほど流れやすい
径深R＝断面積÷潤辺なので、断面積が同じでも潤辺が短ければRは大きくなります。Rが大きければ流速も大きくなります。
つまり同じ量の水を流すなら、壁に触れる長さが短い形のほうが有利です。壁との摩擦が抵抗になるためで、その摩擦を受ける長さが潤辺だからです。
簡単に言えば、細長い水路より、ずんぐりした水路のほうが流れやすいということです。同じ面積なら円に近い形が最も潤辺が短くなります。
下水道の管を円形にするのは、この性質も理由の一つです。下水道管渠で円形が基本になるのは、同じ断面積で潤辺が最も短くなるからです。
施工管理での確認ポイント
- 断面積と潤辺を図に書き込んでから式に入れる。頭の中で計算せず、A と潤辺を図の横に書き出します。
- 水面の線を潤辺に数えていないか指でなぞる。壁に触れている部分だけを赤でなぞる要領で確認します。
- Rの単位がmになるか確かめる。m²÷m＝m。分子と分母が逆なら 1／m になって合いません。
- 粗度係数nの位置を見る。選択肢に n と 1／n が混ざっていたら、まずここで半分に絞れます。
混同しやすい用語
径深 と 水深
別物です。水深は水面から底までの深さ（矩形水路のH）、径深Rは断面積÷潤辺で求める値です。矩形水路では R＝BH／(2H＋B) となり、水深Hとは一致しません。円形管を半分の深さで流す場合は R＝D／4 になります。
潤辺 と 断面の周長
潤辺は水が壁に接している長さだけです。水面は含めません。円形管を半分の深さで流すとき、断面の周長は πD ですが、潤辺は下半分の弧のπD／2です。空気に触れている面は摩擦を受けないため、数えません。
過去問でどう問われたか
マニングの式は1級・2級ともNo.5で出ます。引っかけは3か所です。
- ① 係数を n にする（正しくは 1／n）。
- ② 径深の分子と分母を逆にする（正しくは断面積÷潤辺）。
- ③ 流積の次元を落とす（πD²／8 を πD／8 にする）。
| 出題年度・級（問番） | 問われ方 |
|---|---|
| 令和7年度 1級（No.5） | 円形管の半分流れ。流積 πD²／8、径深 D／4。誤り肢は流積が πD／8 ←③ |
| 令和6年度 2級前期（No.5） | 矩形水路。1／n と BH／(2H＋B) がそろう組合せが正答 ←①② |
理解度チェック
問題：マニングの式で、粗度係数nが式の先頭に1／nの形で入るのはなぜか。
nは粗さを表し、値が大きいほど流れにくいためです。nをそのまま掛けると「粗いほど速い」ことになり、実際と逆になります。だから逆数の1／nを掛けます。式は v＝(1／n)・R^(2／3)・I^(1／2) です。
問題：円形管を半分の深さで水が流れている。潤辺はいくらか。
πD／2です。潤辺は水が壁に接している長さなので、下半分の弧だけを数えます。水面は空気と接しているだけで摩擦を受けないため含めません。流積は πD²／8 なので、径深は R＝(πD²／8)÷(πD／2)＝D／4 です。（令和7年度1級 No.5）
問題：幅B・水深Hの矩形水路で、径深Rはどう表されるか。
R＝BH／(2H＋B) です。断面積は BH、潤辺は底の1辺と両側の2辺で B＋2H。径深は断面積÷潤辺なので、この形になります。分子と分母を逆にすると単位が 1／m になり、長さになりません。（令和6年度2級前期 No.5）
まとめ
- マニングの式＝v＝(1／n)・R^(2／3)・I^(1／2)。流量は Q＝A×v。
- ★係数は1／n。nは粗度係数で、大きいほど流れにくいため逆数で入る。
- ★径深R＝断面積÷潤辺。単位はm（m²÷m）。
- ★潤辺に水面は含めない。水が壁に接している長さだけ。
- 矩形水路＝A＝BH、潤辺＝B＋2H、R＝BH／(2H＋B)。
- 円形管の半分流れ＝A＝πD²／8、潤辺＝πD／2、R＝D／4。
- I＝動水勾配。急なほど流速が大きい。
断面積と流速の関係は連続の式とベルヌーイの定理、下水道管渠の勾配は下水道管渠の基礎と接合で確認できます。
参考資料
- 一般財団法人 全国建設研修センター 公表の第一次検定 問題・正答
※ この記事の確認日：2026年9月
式を覚えるのではなく、3か所を見る
マニングの式の問題は、選択肢が4つとも似た形で並びます。全部を読み比べると時間がかかります。
見るのは3か所だけです。先頭が1／nか、径深が断面積÷潤辺か、流積がDの2乗を持っているか。この順に見れば、たいてい2手で1つに絞れます。