測量士補 三角関数の過去問｜パターン別一覧
関数表は試験で配られます（暗記は不要）。計算で三角関数や平方根の値が必要なときは、問題冊子の巻末に付く関数表を見て使います（問題文に値が書いてある場合はその値を使います）。電卓は持ち込めません。
多角測量｜点の座標を求める（トラバース・4問）
平成24年 No.7
点Pは既知点Aから方向角240°00′00″、平面距離200.00mの位置にある。既知点A（X＝+500.00m、Y＝+100.00m）とする。点Pの座標は幾らか。
求めるもの：点Pの座標
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成24年 No.7）
選択肢
- X＝+326.79m／Y＝−173.21m
- X＝+326.79m／Y＝0.00m
- X＝+400.00m／Y＝−173.21m
- X＝+400.00m／Y＝−73.21m
- X＝+400.00m／Y＝+273.21m
解き方（全過程）
1. 点Aと点Pの位置を図にする
既知点A（500, 100）から、方向角240°（南西向き）・距離200mの先に点Pがあります。まず条件を図にします。
2. cos240°・sin240° の値を関数表から求めておく
240°は関数表（0°〜90°）に載っていません。そこで 240°＝180°＋60° と考え、基準の60°で見ます。240°は南西を向きます。南西は南と西の間なので、南（Xがマイナス）と西（Yがマイナス）に進みます。だから cos240° も sin240° もマイナスになります。
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和2年 問題集 巻末の関数表／PDL1.0）
| 角度 | sin | cos |
|---|---|---|
| 60° | 0.86603 | 0.50000 |
関数表の60°の行から sin60°＝0.86603、cos60°＝0.50000。南西向きなので符号を付けて、cos240°＝−0.5、sin240°＝−0.86603 と求めておきます。
3. ΔX・ΔYを求める
掛け算する理由は、cos・sin が「斜辺に対する辺の割合」だからです。
- 定義：sin＝対辺÷斜辺、cos＝隣辺÷斜辺
- 逆にすると 辺＝斜辺×cos（または sin）
- 斜辺は距離200mなので、200m×cos240°＝ΔX、200m×sin240°＝ΔY
ΔX＝200.00×cos240°＝200.00×(−0.5)＝−100.00m。ΔY＝200.00×sin240°＝200.00×(−0.86603)＝−173.21m。
4. 点Aの座標に足す
XP＝+500.00＋(−100.00)＝+400.00m。YP＝+100.00＋(−173.21)＝−73.21m。
答え XP＝+400.00m、YP＝−73.21m（選択肢4）
平成27年 No.6
点A（X＝−100.00m、Y＝−500.00m）。方向角230°00′00″、平面距離1,000.00m。
求めるもの：点Pの座標
選択肢
- X＝−1,266.04m／Y＝−742.79m
- X＝−866.04m／Y＝−1,142.79m
- X＝−742.79m／Y＝−1,266.04m
- X＝−666.04m／Y＝−142.79m
- X＝−642.79m／Y＝−766.04m
解き方（全過程）
1. 点Aと点Pの位置を図にする
既知点A（−100, −500）から、方向角230°（南西向き）・距離1,000mの先に点Pがあります。まず条件を図にします。
2. cos230°・sin230° の値を関数表から求めておく
230°は関数表（0°〜90°）に載っていません。そこで 230°＝180°＋50° と考え、基準の50°で見ます。230°は南西を向きます。南西は南と西の間なので、南（Xがマイナス）と西（Yがマイナス）に進みます。だから cos230° も sin230° もマイナスになります。
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和2年 問題集 巻末の関数表／PDL1.0）
| 角度 | sin | cos |
|---|---|---|
| 50° | 0.76604 | 0.64279 |
関数表の50°の行から sin50°＝0.76604、cos50°＝0.64279。南西向きなので符号を付けて、cos230°＝−0.64279、sin230°＝−0.76604 と求めておきます。
3. ΔX・ΔYを求める
掛け算する理由は、cos・sin が「斜辺に対する辺の割合」だからです。
- 定義：sin＝対辺÷斜辺、cos＝隣辺÷斜辺
- 逆にすると 辺＝斜辺×cos（または sin）
- 斜辺は距離1,000mなので、1,000m×cos230°＝ΔX、1,000m×sin230°＝ΔY
ΔX＝1,000.00×cos230°＝1,000.00×(−0.64279)＝−642.79m。ΔY＝1,000.00×sin230°＝1,000.00×(−0.76604)＝−766.04m。
4. 点Aの座標に足す
XP＝−100.00＋(−642.79)＝−742.79m。YP＝−500.00＋(−766.04)＝−1,266.04m。
答え XP＝−742.79m、YP＝−1,266.04m（選択肢3）
令和元年 No.6
点A（X＝−1,000.00m、Y＝＋500.00m）。方向角198°00′00″、平面距離1,200.00m。
求めるもの：点Bの座標
出典：過去問（R元 No.6）
選択肢
- X＝−1,370.82m／Y＝−641.17m
- X＝−1,370.82m／Y＝−641.27m
- X＝−1,370.82m／Y＝−641.37m
- X＝−2,141.27m／Y＝+129.18m
- X＝−2,141.27m／Y＝+129.28m
解き方（全過程）
1. 点Aと点Bの位置を図にする
既知点A（−1000, +500）から、方向角198°（南西向き）・距離1,200mの先に点Bがあります。まず条件を図にします。
2. cos198°・sin198° の値を関数表から求めておく
198°は関数表（0°〜90°）に載っていません。そこで 198°＝180°＋18° と考え、基準の18°で見ます。198°は南西を向きます。南西は南と西の間なので、南（Xがマイナス）と西（Yがマイナス）に進みます。だから cos198° も sin198° もマイナスになります。
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和2年 問題集 巻末の関数表／PDL1.0）
| 角度 | sin | cos |
|---|---|---|
| 18° | 0.30902 | 0.95106 |
関数表の18°の行から sin18°＝0.30902、cos18°＝0.95106。南西向きなので符号を付けて、cos198°＝−0.95106、sin198°＝−0.30902 と求めておきます。
3. ΔX・ΔYを求める
掛け算する理由は、cos・sin が「斜辺に対する辺の割合」だからです。
- 定義：sin＝対辺÷斜辺、cos＝隣辺÷斜辺
- 逆にすると 辺＝斜辺×cos（または sin）
- 斜辺は距離1,200mなので、1,200m×cos198°＝ΔX、1,200m×sin198°＝ΔY
ΔX＝1,200.00×cos198°＝1,200.00×(−0.95106)＝−1,141.27m。ΔY＝1,200.00×sin198°＝1,200.00×(−0.30902)＝−370.82m。
4. 点Aの座標に足す
XB＝−1000.00＋(−1141.27)＝−2,141.27m。YB＝+500.00＋(−370.82)＝+129.18m。
答え XB＝−2,141.27m、YB＝＋129.18m（選択肢4）
令和6年 No.6
点A（X＝−800.00m、Y＝＋1,100.00m）。方向角305°00′00″、平面距離1,000.00m。
求めるもの：点Bの座標
出典：過去問（R6 No.6）
選択肢
- XB＝−1,619.15m／YB＝+1,673.58m
- XB＝−1,507.11m／YB＝+1,807.11m
- XB＝−1,373.58m／YB＝+1,919.15m
- XB＝−226.42m／YB＝+280.85m
- XB＝+19.15m／YB＝+526.42m
解き方（全過程）
1. 点Aと点Bの位置を図にする
既知点A（−800, +1100）から、方向角305°（北西向き）・距離1,000mの先に点Bがあります。まず条件を図にします。
2. cos305°・sin305° の値を関数表から求めておく
305°は関数表（0°〜90°）に載っていません。そこで 305°＝360°−55° と考え、基準の55°で見ます。305°は北西を向きます。北西は北と西の間なので、北（Xがプラス）と西（Yがマイナス）に進みます。だから cos305° はプラス、sin305° はマイナスになります。
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和2年 問題集 巻末の関数表／PDL1.0）
| 角度 | sin | cos |
|---|---|---|
| 55° | 0.81915 | 0.57358 |
関数表の55°の行から sin55°＝0.81915、cos55°＝0.57358。北西向きなので符号を付けて、cos305°＝+0.57358、sin305°＝−0.81915 と求めておきます。
3. ΔX・ΔYを求める
掛け算する理由は、cos・sin が「斜辺に対する辺の割合」だからです。
- 定義：sin＝対辺÷斜辺、cos＝隣辺÷斜辺
- 逆にすると 辺＝斜辺×cos（または sin）
- 斜辺は距離1,000mなので、1,000m×cos305°＝ΔX、1,000m×sin305°＝ΔY
ΔX＝1,000.00×cos305°＝1,000.00×(+0.57358)＝+573.58m。ΔY＝1,000.00×sin305°＝1,000.00×(−0.81915)＝−819.15m。
4. 点Aの座標に足す
XB＝−800.00＋573.58＝−226.42m。YB＝+1100.00＋(−819.15)＝+280.85m。
答え XB＝−226.42m、YB＝＋280.85m（選択肢4）
応用測量（用地）｜土地の面積を求める（5問）
平成25年 No.27
4級基準点から放射観測。点A＝方向角0°00′00″・距離32.000m、点B＝方向角60°00′00″・距離40.000m、点C＝方向角330°00′00″・距離24.000m。三角形ABCの面積。
求めるもの：三角形の面積
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成25年 No.27）
選択肢
- 173㎡
- 195㎡
- 213㎡
- 240㎡
- 266㎡
解き方（全過程）
1. 各点の座標を出す（方向角と距離）
X＝距離×cos方向角、Y＝距離×sin方向角。cos0°＝1、sin0°＝0。cos60°＝0.5、sin60°＝0.86603。cos330°＝0.86603、sin330°＝−0.5。
A：X＝32×1＝32.000、Y＝32×0＝0。
B：X＝40×0.5＝20.000、Y＝40×0.86603＝34.641。
C：X＝24×0.86603＝20.785、Y＝24×(−0.5)＝−12.000。
2. 座標法で面積を出す
面積＝½×|XA(YB−YC)＋XB(YC−YA)＋XC(YA−YB)|
＝½×|32×(34.641−(−12.000))＋20×(−12.000−0)＋20.785×(0−34.641)|
＝½×|1,492.5−240.0−720.0|＝½×532.5＝266㎡。
答え 約266㎡（選択肢5）
平成29年 No.27
4級基準点からトータルステーションの放射法で観測。点A＝距離30m・方向角30°、点B＝距離12m・方向角90°、点C＝距離20m・方向角300°。
求めるもの：三角形ABCの面積
選択肢
- 324㎡
- 348㎡
- 372㎡
- 396㎡
- 420㎡
解き方（全過程）
1. 各点の座標を出す（方向角と距離）
X＝距離×cos方向角、Y＝距離×sin方向角。
A：X＝30×cos30°＝30×0.86603＝25.981、Y＝30×sin30°＝30×0.5＝15.000
B：X＝12×cos90°＝0、Y＝12×sin90°＝12.000
C：X＝20×cos300°＝20×0.5＝10.000、Y＝20×sin300°＝20×（−0.86603）＝−17.321
2. 座標法で面積を出す
面積＝½×|XA(YB−YC)＋XB(YC−YA)＋XC(YA−YB)|
＝½×|25.981×(12.000−(−17.321))＋0＋10.000×(15.000−12.000)|
＝½×|25.981×29.321＋30.00|＝½×791.79＝395.9㎡
答え 面積＝約396㎡（選択肢4）
令和3年 No.27
トータルステーションの放射観測。点A＝方向角75°00′00″・距離48.000m、点B＝方向角105°00′00″・距離32.000m、点C＝方向角105°00′00″・距離23.000m。（座標法で面積約108㎡）
求めるもの：三角形の面積
選択肢
- 55.904㎡
- 108.000㎡
- 138.440㎡
- 187.061㎡
- 200.000㎡
解き方（全過程）
1. 各点の座標を出す（方向角と距離）
cos75°＝0.25882、sin75°＝0.96593。105°は cos105°＝−0.25882、sin105°＝0.96593。
A：X＝48×0.25882＝12.423、Y＝48×0.96593＝46.365
B：X＝32×（−0.25882）＝−8.282、Y＝32×0.96593＝30.910
C：X＝23×（−0.25882）＝−5.953、Y＝23×0.96593＝22.216
2. 座標法で面積を出す
面積＝½×|XA(YB−YC)＋XB(YC−YA)＋XC(YA−YB)|
＝½×|12.423×(30.910−22.216)＋(−8.282)×(22.216−46.365)＋(−5.953)×(46.365−30.910)|
＝½×|108.01＋200.00−92.01|＝½×216.00＝108.0㎡
答え 面積＝約108㎡
令和4年 No.27
基準点から放射観測。点A＝距離50m・方向角45°、点B＝距離20m・方向角90°、点C＝距離50m・方向角330°。
求めるもの：三角形の面積
選択肢
- 945㎡
- 1,006㎡
- 1,067㎡
- 1,128㎡
- 1,189㎡
解き方（全過程）
1. 各点の座標を出す（方向角と距離）
A：X＝50×cos45°＝50×0.70711＝35.356、Y＝50×sin45°＝35.356
B：X＝20×cos90°＝0、Y＝20×sin90°＝20.000
C：X＝50×cos330°＝50×0.86603＝43.302、Y＝50×sin330°＝50×（−0.5）＝−25.000
2. 座標法で面積を出す
面積＝½×|XA(YB−YC)＋XB(YC−YA)＋XC(YA−YB)|
＝½×|35.356×(20.000−(−25.000))＋0＋43.302×(35.356−20.000)|
＝½×|35.356×45.000＋43.302×15.356|＝½×2255.97＝1128.0㎡
答え 面積＝約1,128㎡（選択肢4）
令和7年 No.27
基準点Pから放射観測。点A＝方向角60°00′00″・距離30.000m、点B＝方向角115°00′00″・距離40.000m、点C＝方向角115°00′00″・距離23.000m。
求めるもの：三角形ABCの面積
選択肢
- 128㎡
- 146㎡
- 198㎡
- 209㎡
- 215㎡
解き方（全過程）
1. 各点の座標を出す（方向角と距離）
cos60°＝0.5、sin60°＝0.86603。cos115°＝−0.42262、sin115°＝0.90631。
A：X＝30×0.5＝15.000、Y＝30×0.86603＝25.981
B：X＝40×（−0.42262）＝−16.905、Y＝40×0.90631＝36.252
C：X＝23×（−0.42262）＝−9.720、Y＝23×0.90631＝20.845
2. 座標法で面積を出す
面積＝½×|XA(YB−YC)＋XB(YC−YA)＋XC(YA−YB)|
＝½×|15.000×(36.252−20.845)＋(−16.905)×(20.845−25.981)＋(−9.720)×(25.981−36.252)|
＝½×|231.11＋86.83＋99.83|＝½×417.77＝208.9㎡
答え 約209㎡（選択肢4）
水準・地形測量｜標高・高さを求める（8問）
平成25年 No.25
路線測量の横断測量を単観測昇降式で実施。点Aの標高H1＝35.500m。f1＝1.500m、f2＝1.400m、D1＝35.000m、D2＝50.000m、α1＝30°、α2＝45°（α＝器械点での高低角、D＝斜距離、f＝目標高）。点Bの標高H2は幾らか。
求めるもの：点Bの標高H2
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成25年 No.25）
選択肢
- 40.444m
- 40.644m
- 47.456m
- 53.256m
- 53.456m
解き方（全過程）
1. 器械点の視準線標高を出す（三角関数）
点A標高H1＝器械点視準線標高＋D1×sinα1−f1 なので、器械点視準線標高＝H1−D1×sinα1＋f1。
＝35.500−35.000×sin30°＋1.500。sin30°＝0.5。＝35.500−17.500＋1.500＝19.500m。
2. 点Bの標高を出す
H2＝器械点視準線標高＋D2×sinα2−f2＝19.500＋50.000×sin45°−1.400。sin45°＝0.70711。
＝19.500＋35.356−1.400＝53.456m。
答え 約53.456m（選択肢5）
平成28年 No.5
既知点B標高250.00m、器械高1.50m、目標高1.70m、斜距離1,200m、高低角α＝−3°、両差0.10m。
求めるもの：新点Aの標高
選択肢
- 186.89m
- 186.99m
- 187.09m
- 187.19m
- 187.29m
解き方（全過程）
1. 高低差を出す（三角関数）
高低角α＝−3°（下り）。sin3°＝0.05234。
高低差＝D×sinα＝1,200×（−0.05234）＝−62.808m。
2. 標高の式に入れる
HA＝HB＋器械高iB＋高低差−目標高fA＋両差。
HA＝250.00＋1.50＋（−62.808）−1.70＋0.10。
3. 計算する
HA＝250.00＋1.50−62.808−1.70＋0.10＝187.09m。
答え 新点Aの標高＝187.09m（選択肢3）
平成30年 No.14
基準点標高70m、鉛直角25°、斜距離33m、点B標高73m、AB水平距離190m、縮尺1/1,000。
求めるもの：80m等高線の交点（地形図作成）
選択肢
- 4.9cm
- 6.8cm
- 9.3cm
- 12.2cm
- 15.8cm
解き方（全過程）
1. 点Aの標高を出す（三角関数）
基準点(標高70m)から高低角25°・斜距離33mで点Aを観測。sin25°＝0.42262。
高低差＝33×sin25°＝33×0.42262＝13.95m。
点Aの標高＝70＋13.95＝83.95m。
2. AとBの標高差
点A83.95m、点B73m。標高差＝83.95−73＝10.95m（水平距離190m）。
3. 80m等高線までを比例配分
点Bから80mまで＝80−73＝7m。
190：10.95＝X：7 → X＝190×7÷10.95＝121.46m。
4. 図上距離に直す（縮尺1/1,000）
121.46÷1,000＝0.12146m＝12.15cm≒12.2cm。
答え 約12.2cm（選択肢4）
令和2年 No.7
斜距離950m、高低角α＝3°0′0″、既知点B標高350.00m、器械高1.40m、目標高1.60m、両差0.10m。
求めるもの：新点Aの標高
出典：過去問（R2 No.7）
選択肢
- 297.38m
- 300.08m
- 300.18m
- 300.38m
- 303.38m
解き方（全過程）
1. 高低差を出す（三角関数）
器械は既知点Bにあり、下り（俯角）3°で新点Aを観測する。sin3°＝0.05234。
高低差＝−D×sin3°＝−950×0.05234＝−49.723m。
2. 標高の式に入れる
HA＝HB＋器械高iB＋高低差−目標高fA＋両差。
HA＝350.00＋1.40＋（−49.723）−1.60＋0.10。
3. 計算する
HA＝350.00＋1.40−49.723−1.60＋0.10＝300.18m。
答え 新点Aの標高＝300.18m（選択肢3）
令和2年 No.14
点A標高125m、鉛直角−30°、斜距離86m、点C標高42m、BC水平距離300m、縮尺1/500。
求めるもの：60m等高線の交点（縦断面測量）
選択肢
- 8.6cm
- 13.5cm
- 16.2cm
- 27.0cm
- 33.0cm
解き方（全過程）
1. 点Bの標高を出す（三角関数）
点A(標高125m)から鉛直角−30°（下り）・斜距離86mで点Bを観測。sin30°＝0.5。
高低差＝−86×sin30°＝−86×0.5＝−43m。
点Bの標高＝125−43＝82m。
2. BとCの標高差
点B82m、点C42m。標高差＝82−42＝40m（水平距離300m）。
3. 60m等高線までを比例配分
点Cから60mまで＝60−42＝18m。
300：40＝ℓ：18 → ℓ＝300×18÷40＝135m。
4. 図上距離に直す（縮尺1/500）
135÷500＝0.27m＝27.0cm。
答え 27.0cm（選択肢4）
令和5年 No.7
斜距離D＝1,000m、高低角αA＝11°00′05″、既知点A標高10.00m。器械高・目標高は iA＝fA＝1.500m、iB＝fB＝1.600m。両差の補正あり。
求めるもの：高低差・標高
出典：過去問（R5 No.7）
選択肢
- 190.71m
- 190.81m
- 200.71m
- 200.81m
- 204.28m
解き方（全過程）
1. 高低差を出す（三角関数）
既知点Aから高低角11°・斜距離1,000mで新点Bを観測。sin11°＝0.19081。
高低差＝1,000×sin11°＝1,000×0.19081＝190.81m。
2. 新点Bの標高を出す
HB＝HA＋器械高iA＋高低差−目標高fB＝10.00＋1.500＋190.81−1.600＝200.71m。
答え 新点Bの標高＝200.71m（選択肢3）
令和6年 No.15
基準点A標高40.8m、高低角6°、斜距離50m、縮尺1/1,000。
求めるもの：45m等高線の交点
選択肢
- 3.0cm
- 3.5cm
- 4.0cm
- 4.5cm
- 5.0cm
解き方（全過程）
1. 高低差と水平距離を出す（三角関数）
基準点A(標高40.8m)から高低角6°・斜距離50m。sin6°＝0.10453、cos6°＝0.99452。
高低差＝50×sin6°＝50×0.10453＝5.2265m。
水平距離＝50×cos6°＝50×0.99452＝49.726m。
2. 45m等高線までの高さ
45−40.8＝4.2m。
3. 比例配分
49.726：5.2265＝X：4.2 → X＝49.726×4.2÷5.2265＝39.96m。
4. 図上距離に直す（縮尺1/1,000）
39.96÷1,000＝0.03996m≒4.0cm。
答え 約4.0cm（選択肢3）
令和7年 No.13
点A標高86.3m、点C標高123.8m、点X標高87.3m、高低角−5°、斜距離72.0m、BC水平距離500.0m、縮尺1/1,000。
求めるもの：縦断面測量（等高線の交点）
選択肢
- 8.3cm
- 16.6cm
- 25.0cm
- 33.3cm
- 41.6cm
解き方（全過程）
1. 点Bの標高を出す（三角関数）
点A(標高86.3m)から高低角−5°・斜距離72.0mで点Bを観測。sin5°＝0.08716。
高低差＝72.0×sin(−5°)＝72.0×(−0.08716)＝−6.276m。
点Bの標高＝86.3−6.276＝80.02m。
2. BC間の傾斜を出す
BC標高差＝123.8−80.02＝43.78m（水平距離500m）。傾斜率＝43.78÷500＝0.08755。
3. 点Xまでの水平距離を出す
BX標高差＝87.3−80.02＝7.28m。BX水平距離＝7.28÷0.08755＝83.1m。
4. 図上距離に直す（縮尺1/1,000）
83.1÷1,000＝0.0831m≒8.3cm。
答え 約8.3cm（選択肢1）
数学の基礎｜三角形の辺・面積（正弦・余弦定理・4問）
平成29年 No.3
三角形ABCで、BC＝6m、∠BAC＝130°、∠ABC＝30°。
求めるもの：辺AC（正弦定理）
選択肢
- a＝157,920″／b＝0.383ラジアン／AC＝3.916m
- a＝157,920″／b＝0.766ラジアン／AC＝4.667m
- a＝157,930″／b＝0.766ラジアン／AC＝3.916m
- a＝157,930″／b＝0.383ラジアン／AC＝4.667m
- a＝157,930″／b＝0.766ラジアン／AC＝4.667m
解き方（全過程・三角関数を使う辺ACの部分）
1. 正弦定理を立てる
辺ACの向かいの角は∠ABC＝30°、辺BCの向かいの角は∠BAC＝130°。
AC÷sin30°＝BC÷sin130°。
2. 関数表の値に直す
sin30°＝0.5。sin130°＝sin(180°−50°)＝sin50°＝0.76604。
3. ACを求める
AC＝BC×sin30°÷sin130°＝6×0.5÷0.76604
＝3÷0.76604＝3.916m
答え AC＝3.916m（選択肢3）
令和3年 No.3
四角形ABCDで、∠ABC＝90°、∠DAB＝105°、AB＝BC＝20m、AD＝10m。
求めるもの：ACの長さと四角形の面積（三平方＋½ab·sinC）
出典：過去問（R3 No.3）
選択肢
- AC＝28.284m／面積＝270.711㎡
- AC＝28.284m／面積＝322.475㎡
- AC＝34.641m／面積＝150.000㎡
- AC＝34.641m／面積＝286.603㎡
- AC＝34.641m／面積＝350.000㎡
解き方（全過程）
1. ACを三平方で出す
△ABCは∠ABC＝90°・AB＝BC＝20mの直角二等辺三角形。
AC＝20×√2＝20×1.41421＝28.284m。
2. △ACDの角を出す
直角二等辺なので∠BAC＝45°。
∠DAC＝∠DAB−∠BAC＝105°−45°＝60°。
3. 面積を足す
△ABC＝½×20×20＝200㎡。
△ACD＝½×AC×AD×sin60°＝½×28.284×10×0.86603＝122.475㎡。
四角形ABCD＝200＋122.475＝322.475㎡。
答え AC＝28.284m、面積＝322.475㎡（選択肢2）
令和6年 No.3
三角形ABCで、AC＝8.0m、∠BCA＝70°、∠ABC＝30°。
求めるもの：辺BC（正弦定理）
出典：過去問（R6 No.3）
選択肢
- a＝0.73ラジアン／BC＝4.1m
- a＝0.73ラジアン／BC＝15.8m
- a＝1.47ラジアン／BC＝15.0m
- a＝1.47ラジアン／BC＝15.8m
- a＝4.83ラジアン／BC＝15.0m
解き方（全過程・三角関数を使う辺BCの部分）
1. 残りの角を出す
∠BAC＝180°−∠BCA−∠ABC＝180°−70°−30°＝80°。
2. 正弦定理を立てる
辺BCの向かいの角は∠BAC＝80°、辺ACの向かいの角は∠ABC＝30°。
BC÷sin80°＝AC÷sin30°。
3. 関数表の値に直してBCを求める
sin80°＝0.98481、sin30°＝0.5。
BC＝AC×sin80°÷sin30°＝8.0×0.98481÷0.5
＝7.87848÷0.5＝15.8m
答え BC＝15.8m（選択肢4）
令和8年 No.3
三角形ABCで、辺AB＝11m、辺BC＝14m、辺CA＝9m。∠ABCの角度（余弦定理）と三角形ABCの面積を求める。
求めるもの：∠ABCと三角形の面積
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和8年 No.3）
選択肢
- ∠ABC＝40°／面積＝49.5㎡
- ∠ABC＝40°／面積＝50.5㎡
- ∠ABC＝41°／面積＝49.5㎡
- ∠ABC＝41°／面積＝50.5㎡
- ∠ABC＝41°／面積＝51.5㎡
解き方（全過程）
1. 余弦定理で∠ABCのcosを出す
cos∠ABC＝(AB²＋BC²−CA²)÷(2×AB×BC)＝(121＋196−81)÷(2×11×14)＝236÷308＝0.76623。
2. 関数表で角度を読む
cos40°＝0.76604。0.76623に最も近いので∠ABC≒40°。
3. 面積を出す
面積＝½×AB×BC×sin∠ABC＝½×11×14×sin40°。sin40°＝0.64279。
＝½×154×0.64279＝49.5㎡。
答え ∠ABC＝40°、面積＝約49.5㎡（選択肢1）
応用測量（路線）｜円曲線の長さを求める（9問）
平成23年 No.25
現道路R＝600m・交角α＝90°、新道路の交角β＝60°、起点BC及び交点IPは変えない、π＝3.14（tan30°＝0.57735）。新道路BC〜EC′の路線長（曲線長）。
求めるもの：新道路の路線長（接線長 tan）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成23年 No.25）
選択肢
- 1,016m
- 1,039m
- 1,065m
- 1,088m
- 1,114m
解き方（全過程）
1. 現道路の接線長を出す
TL＝R×tan(α/2)＝600×tan45°＝600×1＝600m。
2. 新道路の半径を出す（接線長が等しい）
BC・IPが同じなので新道路の接線長も600m。R′×tan(β/2)＝R′×tan30°＝600。tan30°＝0.57735。
R′＝600÷0.57735＝1,039.2m。
3. 新道路の曲線長を出す
CL＝R′×β×π÷180＝1,039.2×60×3.14÷180＝1,088m。
答え 約1,088m（選択肢4）
平成24年 No.25
起点BP（No.0）から終点EPまで、始点BC・終点EC、曲線半径R＝200m、交角I＝90°。中心杭を20mごとに設置。BP〜BC・EC〜EP間は直線、IPの位置はBPから270m・EPから320m、π＝3.14。BCにおける交点IPから中心杭No.15の偏角δ。
求めるもの：偏角δ
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成24年 No.25）
選択肢
- 19°
- 25°
- 33°
- 35°
- 57°
解き方（全過程）
1. 接線長TLを出す
TL＝R×tan(I/2)＝200×tan45°＝200m。
2. BC点の位置を出す
IPはBPから270m。BCはIPの200m手前なので、BP〜BC＝270−200＝70m。
3. BCからNo.15までの弧長を出す
中心杭No.15＝BPから15×20＝300m。BC＝BPから70m。弧長BC〜No.15＝300−70＝230m。
4. 偏角δを出す（弧度）
弧の中心角＝弧長÷R＝230÷200＝1.15ラジアン。δ＝中心角÷2＝0.575ラジアン＝0.575×180÷3.14≒33°。
答え 約33°（選択肢3）
平成27年 No.26
曲線半径R＝100m、交角I＝108°。
求めるもの：BC点から曲線中央点SPまでの弦長（正弦定理・二等辺三角形）
選択肢
- 45.40m
- 75.00m
- 90.80m
- 99.40m
- 161.80m
解き方（全過程）
1. 中心角を出す
BCから曲線中点SPまでの中心角は交角の半分。∠BC-O-SP＝108°÷2＝54°。
2. 二等辺三角形の底角を出す
O-BC＝O-SP＝R＝100mの二等辺三角形。底角＝(180°−54°)÷2＝63°。
3. 正弦定理で弦BC-SPを出す（三角関数）
x÷sin54°＝R÷sin63°。sin54°＝0.80902、sin63°＝0.89101。
x＝100×0.80902÷0.89101＝90.80m。
答え 約90.80m（選択肢3）
平成28年 No.26
現道路R＝500m・交角α＝90°、新道路の交角β＝60°、BC・IPは変えない、π＝3.142。
求めるもの：接線長ほか（TL＝R·tan(I/2)）
選択肢
- 866m
- 879m
- 893m
- 907m
- 920m
解き方（全過程）
1. 現道路の接線長を出す
現道路 TL＝R×tan(α/2)＝500×tan45°＝500×1＝500m。
2. 新道路の半径を出す（接線長が等しい）
BC・IPが同じなので、新道路の接線長も500m。
R′×tan(β/2)＝R′×tan30°＝500。tan30°＝0.57735。
R′＝500÷0.57735＝866m。
3. 新道路の曲線長を出す
CL＝π×R′×β÷180＝3.142×866×60÷180＝907m。
答え 約907m（選択肢4）
平成29年 No.26
当初R＝600m・交角α＝56°、変更後の交角β＝90°、BC・IPは変えない。
求めるもの：曲線中心の移動量（接線長 tan）
選択肢
- 264m
- 281m
- 292m
- 318m
- 319m
解き方（全過程）
1. 当初の接線長を出す（三角関数）
TL＝R×tan(α/2)＝600×tan28°。tan28°＝0.53171。
TL＝600×0.53171＝319m。
2. 変更後の半径を出す（接線長が等しい）
BC・IPが同じなので接線長も319m。
X×tan(β/2)＝X×tan45°＝X＝319。よってX＝319m。
3. 中心の移動量を出す
移動量＝当初R−変更後R＝600−319＝281m。
答え 約281m（選択肢2）
令和2年 No.26
曲線半径R＝200m、交角I＝112°。
求めるもの：点Aから曲線中点Cまでの弦長（L＝2R·sinδ）
選択肢
- 152m
- 172m
- 188m
- 195m
- 202m
解き方（全過程）
1. 中心角を出す
点Aから曲線中点Cまでの弧の中心角は、交角Iの半分。∠AOC＝112°÷2＝56°。
2. 弦の半角を出す
弦ACが張る中心角は56°なので、δ＝56°÷2＝28°。
3. 弦長を出す（三角関数）
L＝2×R×sinδ＝2×200×sin28°。sin28°＝0.46947。
L＝400×0.46947＝187.79m。
答え 約188m（選択肢3）
令和4年 No.25
現道路R＝420m・交角α＝90°、新道路の交角β＝60°、π＝3.14、BP・IPは共通。
求めるもの：新道路の路線長（接線長 tan）
選択肢
- 440m
- 659m
- 727m
- 743m
- 761m
解き方（全過程）
1. 現道路の接線長を出す
TL＝R×tan(α/2)＝420×tan45°＝420×1＝420m。
2. 新道路の半径を出す（接線長が等しい）
BP・IPが同じなので接線長も420m。
R′×tan(β/2)＝R′×tan30°＝420。tan30°＝0.57735。
R′＝420÷0.57735＝727.46m。
3. 新道路の曲線長を出す
CL＝R′×β×π÷180＝727.46×60×3.14÷180＝761m。
答え 約761m（選択肢5）
令和6年 No.26
BP〜IP＝280m、EC〜EP＝206m、R＝200m、交角I＝60°、π＝3.14。
求めるもの：直線と単心円曲線の路線長（TL＝200·tan30°）
選択肢
- 476m
- 481m
- 580m
- 595m
- 606m
解き方（全過程）
1. 接線長TLを出す（三角関数）
TL＝R×tan(I/2)＝200×tan30°。tan30°＝0.57735。
TL＝200×0.57735＝115.47m。
2. 曲線長CLを出す
CL＝π×R×I÷180＝3.14×200×60÷180＝209.33m。
3. 路線長を足す
BP〜BC＝280−115.47＝164.53m。
路線長＝164.53＋209.33（BC〜EC）＋206（EC〜EP）＝579.86m。
答え 路線長＝約580m（選択肢3）
令和8年 No.26
現道路R＝350m・交角α＝90°、新道路の交角β＝60°、起点BC及び交点IPは変えない、π＝3.14（tan30°＝0.57735）。新道路BC〜EC′の路線長（曲線長）。
求めるもの：新道路の路線長（接線長 tan）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（令和8年 No.26）
選択肢
- 518m
- 550m
- 606m
- 634m
- 672m
解き方（全過程）
1. 現道路の接線長を出す
TL＝R×tan(α/2)＝350×tan45°＝350m。
2. 新道路の半径を出す（接線長が等しい）
BC・IPが同じなので新道路の接線長も350m。R′×tan30°＝350。tan30°＝0.57735。R′＝350÷0.57735＝606.2m。
3. 新道路の曲線長を出す
CL＝R′×β×π÷180＝606.2×60×3.14÷180＝634m。
答え 約634m（選択肢4）
多角測量｜偏心観測の補正（4問）
平成23年 No.6
既知点Bで既知点Aを基準に新点C方向の水平角を測ろうとしたが、BからAへ視通できず、既知点Aに偏心点Pを設けて観測した。S（A-B）＝2,000.000m、偏心距離e＝2.000m、観測角T′＝53°25′23″、偏心角φ＝330°、ρ″＝2×10⁵、sin30°＝0.5。∠BAC（T）は幾らか。
求めるもの：水平角T（偏心補正）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成23年 No.6）
選択肢
- 53°21′33″
- 53°22′03″
- 53°23′13″
- 53°23′43″
- 53°24′13″
解き方（全過程）
1. 偏心補正量を出す（三角関数）
補正量＝(e÷S)×ρ″×sinφ。偏心角φ＝330°に対する sin の大きさは sin30°＝0.5。
補正量＝(2.000÷2,000)×(2×10⁵)×0.5＝0.001×200,000×0.5＝100″＝1′40″。
2. 観測角を補正する
T＝T′−補正量＝53°25′23″−1′40″＝53°23′43″。
答え 53°23′43″（選択肢4）
平成24年 No.6
既知点Bで既知点Aを基準に新点C方向の水平角を測ろうとしたが、BからAへ視通できず、既知点Aに偏心点Pを設けて観測した。S（A-B）＝1,000.00m、偏心距離e＝9.00m、観測角T′＝83°20′30″、偏心角φ＝330°、ρ″＝2×10⁵、sin30°＝0.5。∠BAC（T）は幾らか。
求めるもの：水平角T（偏心補正）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成24年 No.6）
選択肢
- 82°50′15″
- 82°50′30″
- 83°05′15″
- 83°05′30″
- 83°20′15″
解き方（全過程）
1. 偏心補正量を出す（三角関数）
補正量＝(e÷S)×ρ″×sinφ。偏心角φ＝330°に対する sin の大きさは sin30°＝0.5。
補正量＝(9.00÷1,000)×(2×10⁵)×0.5＝0.009×200,000×0.5＝900″＝15′。
2. 観測角を補正する
T＝T′−補正量＝83°20′30″−15′＝83°05′30″。
答え 83°05′30″（選択肢4）
平成26年 No.6
既知点Bで既知点Aを基準に新点C方向の水平角を測ろうとしたが、BからAへ視通できず、既知点Aに偏心点Pを設けて観測した。S（A-B）＝2,000m、偏心距離e＝4.80m、観測角T′＝45°37′00″、偏心角φ＝330°、ρ″＝2×10⁵、sin30°＝0.5。∠BAC（T）は幾らか。
求めるもの：水平角T（偏心補正）
出典：国土地理院「測量士・測量士補試験の試験問題及び解答例」（平成26年 No.6）
選択肢
- 45°24′00″
- 45°27′00″
- 45°30′00″
- 45°33′00″
- 45°36′00″
解き方（全過程）
1. 偏心補正量を出す（三角関数）
補正量＝(e÷S)×ρ″×sinφ。偏心角φ＝330°に対する sin の大きさは sin30°＝0.5。
補正量＝(4.80÷2,000)×(2×10⁵)×0.5＝0.0024×200,000×0.5＝240″＝4′。
2. 観測角を補正する
T＝T′−補正量＝45°37′00″−4′＝45°33′00″。
答え 45°33′00″（選択肢4）
令和4年 No.7
S（A-B）＝1,500m、偏心距離e＝2.7m、観測角T′＝50°41′00″、偏心角φ＝210°、ρ″＝2×10⁵。
求めるもの：水平角の補正（偏心補正＝(e/S)·ρ″·sinφ）
出典：過去問（R4 No.7）
選択肢
- 50°30′00″
- 50°32′00″
- 50°34′00″
- 50°36′00″
- 50°38′00″
解き方（全過程）
1. 偏心補正量を出す（三角関数）
補正量＝(e÷S)×ρ″×sinφ。偏心角φに対する sin の大きさは0.5。
補正量＝(2.7÷1,500)×(2×10⁵)×0.5＝0.0018×200,000×0.5＝180″＝3′。
2. 観測角を補正する
水平角T＝T′−補正量＝50°41′00″−3′＝50°38′00″。
答え 50°38′00″（選択肢5）